牙角被訂在六十度，是因為它比較好量

來源是那篇論文刊出來的樣子： Journal of the Franklin Institute，第 XLVII 卷第 5 期，1864 年 5 月， 收在四月例會的紀錄裡。那一卷已經數位化而且沒有借閱限制， 所以底下引用的是那份文本，不是任何人對它的轉述。

他開場就先讓步

這篇論文做的第一件事，是把論據讓出去。 Sellers 描述美國當時的狀況，一點都沒有替它擦脂抹粉： 在這個國家，還沒有任何有組織的嘗試去建立任何系統， 每一家製造商都採用自己判斷最好、或對自己最方便的做法。 接著他指向英國：那裡的工程師以相互同意的方式，訂下了當時已在當地通用的比例。

然後是替整篇論文定下條件的那一句。他寫道： 既然我們的長度標準跟他們相同，那麼他們採用的系統似乎也該由我們採用， 除非能對它提出重大的反對理由，並以更好的取而代之。

那是一個人在公開場合、在他還沒有替自己說任何一句好話之前，先把舉證責任放到自己身上。 而且他在攻擊英式牙形之前先給了它信用：他寫道，它相對於尖牙的優點是， 因為沒有銳角而增加了螺絲的強度，以及圓頂帶來的、對意外損傷更好的防護。

三個反對理由，以及它們全都在講什麼

讀右邊那一欄。沒有一項是關於夾緊力、疲勞、剝牙或應力的宣稱。 三項全部是關於：一間普通的工廠做不做得出來，以及做出來之後分不分得出對錯。

第二項還顯示了一種值得指出來的思考習慣，因為它比它應該有的還罕見。 在說了那些曲線不會貼合之後，Sellers 立刻替自己設限： 不應由此推論說這些曲線做不到貼合，只是說這個特殊形狀讓困難增加到 在實務上它不會被做到。 他在一篇替自己的提案辯護的論文裡，把「不可能」跟「實際上不會發生」分開了，在 1864 年。

那個提案，以及那個八分之一

角度定下來之後，幾何很短。把節距（他註明那跟牙的那一邊是同一件事）分成八等分； 從頂上拿掉一份，在底部填進一份。 於是平的頂與底各等於節距的八分之一，而磨耗面是節距的四分之三。 他註明這樣得到的牙深，幾乎跟英制完全相同。

他也主張這個安排的磨耗面比英制多百分之三十六，理由是兩者的接觸實際上都被侷限在直邊上。 那個數字是他的，時間是 1864 年；這一頁是轉述它，不是確認它。

更要緊的是：那個平面為什麼一開始就是他可以選的。 他論證說尖頂必須捨棄，因為它在大螺栓上很脆弱， 而美國的工廠本來就已經在大牙上做一個小平面了，只是沒有任何講好的比例。 既然兩側必須是直的，那就只剩圓頂與平頂之間的選擇；而平頂贏在刀具上： 它的側面跟尖牙同形，所以同一把刀就夠用，而 要做出這個形狀，只需要把刀尖磨掉。

他把量具一起帶去了

這一段才是把這篇論文從一個意見變成一個提案的東西。 他對五十五度的第一個反對理由，就是它沒辦法被可靠地驗證。 所以這篇論文不只規定了一種牙形；它附了一張量測「刀尖上那個平面」的儀器圖。

那個量具在框緣上切了一個六十度的角，另有一個把頂點切掉的同型角， 以及一個從第二個角穿過去的、有刻度的楔形件。 把楔形件上的某一刻度對到框上的固定標記，它的邊緣就會停在那個角頂上方正確的距離， 而那個距離告訴刀具師傅：一把已經先貼合過第一個角的梳刀，刀尖要磨掉多少。 論文裡甚至有對刀的指示：把量具的某一面貼著工件表面， 他寫道，這樣可以確保切出來的牙與該表面垂直。

同一個晚上的會議紀錄，在無意間把這件事又講了一次。 論文與討論之後，一位 Longstreth 先生展示了一件用來設定車螺紋刀具的儀器， 接著又展示了第二件、用來檢驗螺紋是否正確的儀器。 一場會議裡又多了兩件量具。 那個房間裡的問題從來不是「要講好哪一種形狀」。是「誰要怎麼證明自己做到了」。

那個他找到卻不採用的更好答案

有一段值得比平常更多的注意。 Sellers 把英制的節距數列擬合成一條公式，想看看它是不是遵循某種規則， 結果發現它非常接近：他給了他用的常數 2,09 與 16,64， 並註明英制螺紋一直到四吋半才開始偏離那條規則，而且偏得很小。

然後他把自己的結果擱到一邊。他寫道：那條公式給出的節距會被發現是一種改進， 但改進的程度不足以讓我們採用它們，前提是英制系統其餘的部分我們能接受。

一個正在提出國家級標準的人，手上握著一組明顯更整齊的數列， 判斷「更整齊」不值得換來不相容。 那個判斷每年都在標準委員會裡被做出來，而它幾乎從來沒有被寫得像這樣直白。

還有一條經驗法則，在 1864 年被抓個正著

會議紀錄寫到兩家廠商帶了證據到現場。 Merrick & Sons 送來六吋到八分之三吋的實物螺紋、螺栓與螺帽， 而秘書註明它們的節距跟 Sellers 提議的幾乎完全一致。 Bement & Dougherty 送來圖面，他們的節距除了半吋之外都與 Whitworth 相同。 而他們的圖面上還帶著一條家規： 成品頭部與螺帽的對邊寬是螺栓直徑的一倍半，而螺帽厚度等於直徑。

前面那個數字到今天還在流通。它就是大家在猜扳手尺寸時會抓的那條經驗法則，而 現代那張表只在部分範圍裡同意它： ISO 4032 的比值從 M12 到 M24 是 1,50，但在小尺寸端是 2,00， 而且中間還轉了兩次向。 所以那條法則在 1864 年是費城某家工廠的家規， 而後來到來的那份標準，在中段留下了它，在兩端把它丟掉了。

這一頁沒有在宣稱的事

今天在用的螺紋，兩側夾角是六十度； 而 Sellers 在 1864 年選六十度時給的理由，是它比五十五度更容易取得，並且符合他周遭的做法。 這一頁不宣稱這兩件事之間有一條系譜， 因為我們沒有讀到任何記錄那條系譜的文件，而相似不等於傳承。

它也沒有說英制牙形比較差。Sellers 自己先給了它信用， 而他那三個反對理由講的是刀具與量規，不是表現。 它也沒有把故事往後接：那場會議決議把論文送給其他學會， 如果他們認可的話，並指派了一個九人委員會去調查與建議。 那個委員會後來得到什麼結論，不在我們讀的那份文件裡， 所以這一頁在文件停下來的地方停下來。

它留給你的，是那個決定的形狀。 一個看起來像物理的數字，在提出它的那份論文裡， 結果是因為「一間普通的工廠，可以用一件做得出來的量具去查它」才被選上的。 那不是比較次等的理由。就那個晚上的證據看，那是唯一要緊的理由。

而 Sellers 當時反對的那個角度，後來我們也讀了它自己的論文： 五十五度是英國做法量出來的平均， 靠調查決定，不是靠計算。而那天晚上指派的委員會，八個月後確實提出了報告： 指派了九個人，署名的有十個。

五十六年後，同樣的形狀又出現了一次，在那份把 Sellers 列為前輩的聯邦委員會報告裡： 它的螺紋公差，是照著架上已經在賣的絲攻訂的。

這一篇屬於第 2 步，牙。完整的順序是母材、牙、頭型、驅動、表面處理、文件；至於為什麼順序做反了是重工而不是微調，見指定一顆螺絲。

常見問題

牙角為什麼是六十度？

提出它的那份論文給了一個理由。1864 年 4 月，William Sellers 告訴 Franklin Institute：所提議的牙形，其角度定在 60 度，與尖牙相同，因為它比 55 度更容易取得，也更符合該國的一般做法。那個理由講的是這個角度有多容易被做出來與被驗證，不是這個接合受力時怎麼表現。

五十五度的英制牙形有什麼問題？

Sellers 提了三個反對理由，而且在提之前先給了那個設計信用。他的反對是：55 度難以驗證，各自獨立製作的量規不會吻合到足夠的準確度；螺絲牙頂與牙底的圓弧跟螺帽上對應的圓弧不會貼合，於是工作留給了兩側直邊；以及切削刀具至少需要三個切削面，英國在小件上的做法要三種刀具與兩台車床，而美國的做法各只要一個。三項全部關於製造與量測。

牙頂上那個平面是從哪裡來的？

出自同一份 1864 年的提案。Sellers 把節距分成八等分，從頂上拿掉一份、在底部填進一份，於是平的頂與底各是節距的八分之一，剩下四分之三是磨耗面。他主張平頂勝過英式圓頂的理由是刀具：兩側跟尖牙同形，所以同一把刀就切得出來，而要做出那個平面，只需要把刀尖磨掉。

Sellers 有沒有順便提出新的節距？

他算出他可以，然後決定不要。他把英制的節距數列擬合成一條公式，引用了常數 2,09 與 16,64，並觀察到英制螺紋一直到大約四吋半都很貼合那條規則。接著他寫道：那條公式給出的節距會被發現是一種改進，但改進的程度不足以讓我們採用它們。一組更好的數列，因為改進不值得換來不相容而被擱下。

「扳手尺寸大約是直徑的 1.5 倍」這條法則很老嗎？

至少跟那場會議一樣老。紀錄上有一家費城廠商送來的圖面，其中成品頭部與螺帽的對邊寬是螺栓直徑的一倍半，而螺帽厚度等於直徑。現代的 ISO 表格在 M12 到 M24 保留了那個比值，在小尺寸端則離開它、跑到 2,00，所以那條經驗法則是一條家規，而標準後來只留下了它的一部分。

今天的公制螺紋是從這篇論文傳下來的嗎？

今天在用的螺紋兩側夾角是六十度，而這篇 1864 年的論文以「好取得、好量」為理由主張六十度。這一頁不主張這兩件事之間有一條系譜，因為我們沒有讀到記錄那條系譜的文件。我們能說的是那份論文說了什麼：當有人第一次必須替那個數字辯護時，他給的理由是那個角度做得出來、也查得出來。

參考資料

• Journal of the Franklin Institute，第 XLVII 卷第 5 期，1864 年 5 月 —— 四月例會的紀錄，含 William Sellers 宣讀的螺紋與螺帽系統論文、討論與決議。已數位化且無借閱限制
• ISO 4032:1999 —— 六角螺帽 style 1，用來對照 1864 年那條「對邊寬一倍半」的家規

1864 年那篇論文，讀的是 Internet Archive 上 1864 年 5 月號的數位化全文，該項目沒有借閱限制；上面每一句引用都出自那份文本，不是出自後人的轉述。那是光學字元辨識的轉錄，數學式與表格都有壞字，所以本頁不重製論文裡的任何公式與任何表格；那條節距公式只以 Sellers 指名的兩個常數與他對它的結論來描述。「磨耗面多百分之三十六」是 Sellers 在 1864 年的主張，本頁是轉述而不是驗證。Whitworth 自己 1841 年的論文後來已為另一頁讀過，但本頁不把那份文件裡的推理搬進來；這裡對英制牙形的描述，是 Sellers 對它的描述，包括他給它的那些優點。本頁不宣稱 1864 年的提案與現代標準所用的角度之間存在系譜，因為我們手上沒有記錄那件事的文件。那天晚上指派的九人委員會在紀錄裡有名單，而它得出什麼結論不在我們讀的那份文件裡（該委員會的報告後來在 1865 年 1 月號找到，另有專頁），所以這一頁不把故事帶過那場會議。本頁不引用 ISO 68-1 的任何比例，本輪沒有讀那份標準。